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<!DOCTYPE html>

<title>Gaußsche Pessach-Formel</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Gaußsche Pessach-Formel</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Die <b>Pessach-Formel</b> von <a href="Carl_Friedrich_Gau%C3%9F" title="Carl Friedrich Gauß">Carl Friedrich Gauß</a> aus dem Jahr 1802<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> erlaubt es, für ein jüdisches Jahr oder ein Jahr der christlichen Ära das Datum des <a href="Pessach" title="Pessach">Pessach</a>-Festes im <a href="Julianischer_Kalender" title="Julianischer Kalender">julianischen Kalender</a> zu berechnen. Mit der Formel, die weniger bekannt ist als die <a href="Gau%C3%9Fsche_Osterformel" title="Gaußsche Osterformel">Gaußsche Osterformel</a>, erhält man den ersten Tag des jüdischen Pessach-Festes, der dem 15. <a href="Nisan_(Monat)" title="Nisan (Monat)">Nisan</a> im <a href="J%C3%BCdischer_Kalender" title="Jüdischer Kalender">Jüdischen Kalender</a> entspricht. Zu beachten ist jedoch, dass im jüdischen Kalender der Tagesbeginn jeweils am Vorabend mit Sonnenuntergang erfolgt.

</p><p>Der berechnete Tag im julianischen Kalender kann danach leicht in den <a href="Gregorianischer_Kalender" title="Gregorianischer Kalender">gregorianischen Kalender</a> umgerechnet werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Berechnung">Berechnung</h2></div>

<p>A sei das Jahr im jüdischen Kalender (A > 0). B sei das Jahr in der christlichen Ära (B ≥ 0). Es gilt: A − 3760 = B.

</p><p>Man dividiere zunächst (12 · A + 17) durch 19 bzw. (12 · B + 12) durch 19 und bezeichne den Rest mit a. Dann dividiert man A bzw. B durch 4 und nenne den Rest b.

</p><p>Man berechne: 32,0440932 + 1,5542418 · a + 0,25 · b − 0,003177794 · A, beziehungsweise: 20,0955877 + 1,5542418 · a + 0,25 · b − 0,003177794 · B und setze das Ergebnis gleich M + m. M bedeutet die sich ergebende ganze Zahl und m den echten Dezimalbruch.

</p><p>Mit Brüchen formuliert:

</p><p><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M+m=32{\frac {4343}{98496}}+1{\frac {272953}{492480}}a+{\frac {1}{4}}b-{\frac {313}{98496}}A}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M+m=32{\frac {4343}{98496}}+1{\frac {272953}{492480}}a+{\frac {1}{4}}b-{\frac {313}{98496}}A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66378f0f93b3464975a11303737527bde2251bcd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:49.507ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle M+m=32{\frac {4343}{98496}}+1{\frac {272953}{492480}}a+{\frac {1}{4}}b-{\frac {313}{98496}}A}" loading="lazy"></span>,

</p><p>beziehungsweise

</p><p><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M+m=20{\frac {9415}{98496}}+1{\frac {272953}{492480}}a+{\frac {1}{4}}b-{\frac {313}{98496}}B}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M+m=20{\frac {9415}{98496}}+1{\frac {272953}{492480}}a+{\frac {1}{4}}b-{\frac {313}{98496}}B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee78a6560af4449a98c16c90dc5746ba12a7fe68.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:49.528ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle M+m=20{\frac {9415}{98496}}+1{\frac {272953}{492480}}a+{\frac {1}{4}}b-{\frac {313}{98496}}B}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Dann dividiert man (M + 3 · A + 5 · b + 5) bzw. (M + 3 · B + 5 · b + 1) durch 7 und nennt den Rest c.

</p><p>Schließlich sind folgende Fälle zu unterscheiden:

</p>

<ol><li>Ist c = 2, 4 oder 6: Das Pessach-Fest ist am (M + 1)-ten März im Julianischen Kalender.</li>

<li>Ist c = 1, a > 6 und m ≥ 1367/2160, dann ist das Pessach-Fest am (M + 2)-ten März im Julianischen Kalender.</li>

<li>Ist c = 0, a > 11 und m ≥ 23269/25920, dann ist das Pessach-Fest am (M + 1)-ten März im Julianischen Kalender.</li>

<li>In allen übrigen Fällen ist das Pessach-Fest am M-ten März nach dem Julianischen Kalender. Ergeben sich Resultate größer als 31, so sind die Tageszahlen der vorangegangenen Monate abzuziehen.</li></ol>

<p>Die Fälle 1–3 entsprechen den Verschiebungen (<i>Dechijoth</i>) <i>Adu</i>, <i>Gatrat</i> bzw. <i>Betutakpat</i> (<a href="J%C3%BCdischer_Kalender#Kalendarische_Ausnahmeregeln" title="Jüdischer Kalender">Jüdischer Kalender #Kalendarische Ausnahmeregeln</a>) beim jüdischen Neujahrstag, der dem Pessach-Fest folgt. Die Verschiebung Jach ist bereits in die Formel eingearbeitet.<sup id="cite_ref-Hamburger_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-Hamburger-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-Bach_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-Bach-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Der jüdische Neujahrstag folgt dem berechneten ersten Tag des Pessach-Festes immer um 163 Tage<sup id="cite_ref-Hamburger_2-1" class="reference"><a href="#cite_note-Hamburger-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, sodass über die Gauß’sche Pessach-Formel auch der Neujahrstag im Jüdischen Kalender (<i><a href="Rosch_ha-Schana" title="Rosch ha-Schana">Rosch ha-Schana</a></i>) zugänglich ist.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Umwandlung_Julianischer_–_Gregorianischer_Kalender"><span id="Umwandlung_Julianischer_.E2.80.93_Gregorianischer_Kalender"></span>Umwandlung Julianischer – Gregorianischer Kalender</h2></div>

<p>Um das Datum im gregorianischen Kalender zu erhalten, sind einzelne Tage zum Datum im julianischen Kalender hinzu zu addieren:

</p>

<th>plus

</th></tr>

<tr>

<td>10 Tage

</td></tr>

<tr>

<td>11 Tage

</td></tr>

<tr>

<td>12 Tage

</td></tr>

<tr>

<td>13 Tage

</td></tr>

<tr>

<td>14 Tage

</td></tr></tbody></table>

<p>Ein allgemein gültiger Umrechnungsalgorithmus findet sich unter <a href="Umrechnung_zwischen_julianischem_und_gregorianischem_Kalender" title="Umrechnung zwischen julianischem und gregorianischem Kalender">Umrechnung zwischen julianischem und gregorianischem Kalender</a>. Bach<sup id="cite_ref-Bach_3-1" class="reference"><a href="#cite_note-Bach-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> gibt eine Liste mit den Daten des Pessach-Festes von 500 bis 2999 n. Chr. an.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beweis_der_Formel">Beweis der Formel</h2></div>

<p>Hamburger<sup id="cite_ref-Hamburger_2-2" class="reference"><a href="#cite_note-Hamburger-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> hat 1896 einen Beweis dieser Formel und umfassende Erklärungen dazu geliefert, ebenso Bach<sup id="cite_ref-Bach_3-2" class="reference"><a href="#cite_note-Bach-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Berechnungsbeispiel">Berechnungsbeispiel</h2></div>

<p>Für das Jahr 2017 n. Chr. soll der erste Tag des Pessach-Festes berechnet werden.

</p><p>Somit ist B = 2017 und A = 5777. Man erhält a = 10 und b = 1. Weiterhin ergibt sich M + m = 29,47839526. Somit ist M = 29 und m = 0,47839526. Schließlich erhält man daraus c = 3.

</p><p>Die Fälle 1–3 treten hier nicht auf, daher ist das Pessach-Fest am M-ten März und somit am 29. März 2017 im julianischen Kalender. Um das entsprechende Datum im gregorianischen Kalender zu erhalten, müssen 13 Tage addiert werden, somit ergibt sich der 42. März bzw. der 11. April 2017. Das Pessach-Fest beginnt somit am Abend des 10. April 2017 mit Sonnenuntergang.

</p><p>Der darauf folgende Neujahrstag des jüdischen Jahres 5778 (A+1) ist 163 Tage später und somit am 21. September 2017 (Beginn am 20. September mit Sonnenuntergang).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Gauss: <i>Berechnung des jüdischen Osterfestes.</i> In: <i>Monatliche Korrespondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde.</i> Hrsg. von <a href="Franz_Xaver_von_Zach" title="Franz Xaver von Zach">Franz Xaver von Zach</a>. Band 5. Becker, Gotha 1802, S. 435–437, <a href="Uniform_Resource_Name" title="Uniform Resource Name">urn</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:12-bsb10538597-4">nbn:de:bvb:12-bsb10538597-4</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://reader.digitale-sammlungen.de/de/fs1/object/goToPage/bsb10538597.html?pageNo=447">Scan</a> der <a href="Bayerische_Staatsbibliothek" title="Bayerische Staatsbibliothek">Bayerischen Staatsbibliothek</a>). –<br>Gauss: <i>Werke.</i> Band VI, S. 80 f. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/werkecarlf06gausrich/page/n89/mode/1up">Textarchiv – Internet Archive</a>).</span>

</li>

<li id="cite_note-Hamburger-2"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-Hamburger_2-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Hamburger_2-1">b</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Hamburger_2-2">c</a></sup></span> <span class="reference-text">M. Hamburger: <cite style="font-style:italic">Ableitung der Gaußschen Formel zur Bestimmung des jüdischen Osterfestes</cite>. In: L. Fuchs (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Journal für die reine und angewandte Mathematik</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>116</span>. de Gruyter, 1896, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <span style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220075-4102%22&key=cql">0075-4102</a></span>, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>90–96</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1515/crll.1896.116.90">10.1515/crll.1896.116.90</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Gau%C3%9Fsche+Pessach-Formel&rft.atitle=Ableitung+der+Gau%C3%9Fschen+Formel+zur+Bestimmung+des+j%C3%BCdischen+Osterfestes&rft.au=M.+Hamburger&rft.date=1896&rft.doi=10.1515%2Fcrll.1896.116.90&rft.genre=journal&rft.issn=0075-4102&rft.jtitle=Journal+f%C3%BCr+die+reine+und+angewandte+Mathematik&rft.pages=90-96&rft.place=Berlin&rft.pub=de+Gruyter&rft.volume=116" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-Bach-3"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-Bach_3-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Bach_3-1">b</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Bach_3-2">c</a></sup></span> <span class="reference-text">Joseph Bach: <cite style="font-style:italic">Die Zeit- und Festrechnung der Juden unter besonderer Berücksichtigung der gaussschen Osterformel nebst einem immerwährenden Kalender</cite> (= <cite style="font-style:italic">Jahrbuch des Bischöflichen Gymnasiums zu Straßburg 1908</cite>. Beilage). Herder, Freiburg im Breisgau 1908, <a href="OCLC" title="OCLC">OCLC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://worldcat.org/oclc/6612522">6612522</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Gau%C3%9Fsche+Pessach-Formel&rft.au=Joseph+Bach&rft.btitle=Die+Zeit-+und+Festrechnung+der+Juden+unter+besonderer+Ber%C3%BCcksichtigung+der+gaussschen+Osterformel+nebst+einem+immerw%C3%A4hrenden+Kalender&rft.date=1908&rft.genre=book&rft.oclc=6612522&rft.place=Freiburg+im+Breisgau&rft.pub=Herder&rft.series=Jahrbuch+des+Bisch%C3%B6flichen+Gymnasiums+zu+Stra%C3%9Fburg+1908" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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